Voici une activité introductive au Théorème de Pythagore et à la notion de racine carrée en 4°. Je l'ai expérimentée plusieurs fois et à chaque fois, elle a permis d'instaurer des discussions fructueuses et indispensables: sur la nécessité de recourir à des calculs pour obtenir une mesure exacte par exemple.
1/ On commence par le tracé d'un carré de 5cm de côté. Puis on rappelle la notion d'aire: la surface du carré mesure 25cm², aire obtenue par comptage des carreaux ou plus directement par le produit 5x5. On rappelle à cette occasion que plus généralement, on peut l'obtenir l'aire d'un carré en effectuant le produit (côté x côté). On peut alors rafraichir la mémoire sur le calcul de l'aire d'un triangle rectangle ce qui va inspirer certains élèves par la suite... (au 3/).
2/ Les élèves sont invités à compléter la figure avec un deuxième carré: (colorié ici en jaune)
Cette construction est l'occasion de revenir sur la symétrie centrale, les éléments de symétrie du carré, les différentes caractérisations du carré. Différentes stratégies sont généralement employées par les élèves pour construire les deux sommets manquants du grand carré.
3/ On demande ensuite de trouver l'aire du grand carré. Le débat s'installe alors entre les partisans d'une aire de 49cm² et ceux qui trouvent 50cm². Les premiers ont mesuré le côté du grand carré sur le dessin et on généralement effectué 7x7=49cm². Les autres, plus rares, ont remarqué que le grand carré a une aire égale à 4 fois celle du demi petit carré (triangle rectangle isocèle de 5 par 5). Ce qui fait cette fois 4x12,5=50cm². A noter que l'usage de papier quadrillé peut simplifier la tâche pour déterminer les aires.
4/ Je demande alors à chaque camp de justifier et argumenter son choix entre 49 ou 50 cm². C'est généralement sur ce débat que se termine la séquence de 55 minutes, en veillant bien à laisser le débat ouvert, ce qui éveille la curiosité de certains qui voudraient être fixés entre 49 ou 50cm².
-----
Lors de la deuxième séance, on revient sur les deux options: 49 ou 50 cm². L'argument basé sur la mesure du côté "avec la règle" est généralement balayée assez rapidement par un argumentaire bien plus solide: celui basé sur la décomposition de la surface du grand carré en 4 triangles rectangles isocèles de 12,5cm².
5/ Pour finir, on demande combien mesure le côté du grand carré. "Le grand carré ne peux pas mesurer 7cm de côté car son aire serait alors 49 et non 50". La calculatrice et sa touche racine carrée vient alors naturellement avec les quelques élèves qui auront déjà entendu parler de la racine carrée par ailleurs (grand frère,...). Le côté du grand carré mesure exactement "la racine carrée de 50".
En conclusion: cette activité permet de poser les bases de la notion de racine carrée en proposant un exemple d'emploi, en réponse à un problème.
Par ailleurs, cet exemple de recours à un calcul d'aires pour calculer une longueur sera rappelé plus tard dans la présentation du théorème de Pythagore, dont une justification peut reposer sur des égalités d'aires.
Pour finir, on pourra mesurer la puissance d'un raisonnement indiscutable: celui qui justifie les 50cm² est convaincant et anéantit le raisonnement basé sur la mesure à la règle
1/ On commence par le tracé d'un carré de 5cm de côté. Puis on rappelle la notion d'aire: la surface du carré mesure 25cm², aire obtenue par comptage des carreaux ou plus directement par le produit 5x5. On rappelle à cette occasion que plus généralement, on peut l'obtenir l'aire d'un carré en effectuant le produit (côté x côté). On peut alors rafraichir la mémoire sur le calcul de l'aire d'un triangle rectangle ce qui va inspirer certains élèves par la suite... (au 3/).
2/ Les élèves sont invités à compléter la figure avec un deuxième carré: (colorié ici en jaune)
Cette construction est l'occasion de revenir sur la symétrie centrale, les éléments de symétrie du carré, les différentes caractérisations du carré. Différentes stratégies sont généralement employées par les élèves pour construire les deux sommets manquants du grand carré.
3/ On demande ensuite de trouver l'aire du grand carré. Le débat s'installe alors entre les partisans d'une aire de 49cm² et ceux qui trouvent 50cm². Les premiers ont mesuré le côté du grand carré sur le dessin et on généralement effectué 7x7=49cm². Les autres, plus rares, ont remarqué que le grand carré a une aire égale à 4 fois celle du demi petit carré (triangle rectangle isocèle de 5 par 5). Ce qui fait cette fois 4x12,5=50cm². A noter que l'usage de papier quadrillé peut simplifier la tâche pour déterminer les aires.
4/ Je demande alors à chaque camp de justifier et argumenter son choix entre 49 ou 50 cm². C'est généralement sur ce débat que se termine la séquence de 55 minutes, en veillant bien à laisser le débat ouvert, ce qui éveille la curiosité de certains qui voudraient être fixés entre 49 ou 50cm².
-----
Lors de la deuxième séance, on revient sur les deux options: 49 ou 50 cm². L'argument basé sur la mesure du côté "avec la règle" est généralement balayée assez rapidement par un argumentaire bien plus solide: celui basé sur la décomposition de la surface du grand carré en 4 triangles rectangles isocèles de 12,5cm².
5/ Pour finir, on demande combien mesure le côté du grand carré. "Le grand carré ne peux pas mesurer 7cm de côté car son aire serait alors 49 et non 50". La calculatrice et sa touche racine carrée vient alors naturellement avec les quelques élèves qui auront déjà entendu parler de la racine carrée par ailleurs (grand frère,...). Le côté du grand carré mesure exactement "la racine carrée de 50".
En conclusion: cette activité permet de poser les bases de la notion de racine carrée en proposant un exemple d'emploi, en réponse à un problème.
Par ailleurs, cet exemple de recours à un calcul d'aires pour calculer une longueur sera rappelé plus tard dans la présentation du théorème de Pythagore, dont une justification peut reposer sur des égalités d'aires.
Pour finir, on pourra mesurer la puissance d'un raisonnement indiscutable: celui qui justifie les 50cm² est convaincant et anéantit le raisonnement basé sur la mesure à la règle